Teoría de números – María Luisa Pérez Seguí

El presente tiene el propósito de presentar de manera lo más completa posible el material de Teoría de Números que le conviene conocer a un alumno en las primeras etapas de la Olimpiada de Matemáticas (antes del Concurso Nacional) e, incluso, al inicio de una preparación para olimpíadas de nivel internacional.

La filosofía que hemos seguido los profesores entrenadores de alumnos para las olim­piadas de matemáticas ha sido que se puede aprender matemáticas de la misma manera que uno aprende a hablar: sin que se le definan todas las palabras que va a utilizar. Por otro lado, las matemáticas deben ser precisas y no debe haber ambigüedades. Tratando de equilibrar estas dos ideas he dejado sin definición conceptos que el alumno seguramente aprendió en la escuela como positivo, ecuación, colección, etc. El significado de otras palabras como coeficiente, término, sucesión se deduce fácilmente del contexto; muchas de ellas se marcan con letras inclinadas y se les hace referencia en el índice alfabético la primera vez que aparecen en el texto. Finalmente, se incluye una definición precisa de palabras que, aunque conocidas probablemente por el alumno, requieren de una gran precisión para el desarrollo de estas notas (como primo, máximo común divisor, etc.).

Los temas de Divisibilidad (Sección 2) y Congruencias (Sección 3) pueden resultar a veces un poco áridos; sobre todo si se pretende enunciar y demostrar todas las propiedades sin trabajar con los números. En general es difícil motivar a los alumnos para que vean la importancia de las demostraciones, y esto es aún peor cuando son totalmente algebraicas. Por esta razón he incluido una sección de Aritmética y Algebra (Sección 1), en la que se practican las técnicas algebraicas básicas, sin nomenclatura excesiva ni largos enunciados de propiedades. Así mismo, durante un entrenamiento completo para las olimpiadas, me parece apropiado iniciar con un poco de combinatoria (en donde el manejo de los números es más ágil) y, posteriormente, ir intercalando sesiones en Teoría de Números. Siguiendo esta idea, he intentado incluir lo más posible ejercicios en los que se “juegue” un poco con los números para que las propiedades salgan de manera natural. En una primera lectura conviene, entonces, saltarse la mayor parte de las demostraciones, y sólo convencer a los alumnos que son válidas ilustrando con ejemplos. También conviene eliminar en una primera lectura los temas de ecuaciones diofantinas y del Teorema de Euler, así como la Segunda Parte: Problemas (Sección 4), Sugerencias (Sección 5) y Soluciones (Sección 6), pues la mayor parte de los problemas son de un nivel más elevado.

En la teoría se han incluido un gran número de ejercicios, muchos de ellos rutinarios, que el alumno deberá ir resolviendo conforme se le aparezcan. De la misma manera, es conveniente que el alumno intente, antes de ver la solución, los ejemplos (pie vienen resueltos, sin temor a equivocarse, pues sólo así se dará cuenta de las dificultades que pueden presentarse.

Contenido:

Introducción
Primera Parte
1. Aritmética y Algebra
Reacomodos
Exponentes
Ecuaciones y desigualdades
Polinomios
Bases
2. Divisibilidad
Propiedades básicas
Primos
Criterios de divisibilidad
Algoritmo de la División
Máximo común divisor
Mínimo común múltiplo
Ecuaciones diofantinas
3. Congruencias
Conceptos y propiedades básicas
Conjuntos de residuos
Más propiedades
Solución de congruencias lineales
Aplicaciones
Teorema de Euler
Segunda Parte
4. Problemas
5. Sugerencias
6. Soluciones
Lecturas complementarias
Índice alfabético

Formato:  pdf Comprimido:  rar Peso:  24.18 MB Lenguaje:  Español

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