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Estructuras algebraicas II: Algebra Lineal – Enzo R. Gentile

En nuestra primera monografía sobre Estructuras Algebraicas estudiamos las propiedades generales de las leyes de composición y las propiedades elementales de grupos y anillos. El material allí tratado constituye una introducción a temas de la—llamada álgebra moderna. Una forma natural de continuar este estudio podría ser profundizar los mismos temas. Por ejemplo, estudiar con más detalle la estructura de grupo, encarando los grupos finitos, los grupos de permutaciones, los teoremas de Sylow. Así mismo, se podría intensificar el estudio de ciertos ejemplos importantes de anillos, como son los anillos de polinomios, anillos de matrices, anillos noetherianos e ideales. Todo esto sería, sin dudas, una sana y estimulante labor a desarrollar. Sin embargo, nos parece más interesante encarar un proyecto mucho más ambicioso, que es el de hacer franca irrupción en el álgebra moderna, mediante el desarrollo sistemático de la teoría de módulos. La estructura de módulo generaliza naturalmente las estructuras de grupo y anillo. Y así, los grupos abelianos y los espacios vectoriales constituyen ejemplos importantes de módulos.

El desarrollo reciente de la matemática muestra la importancia y resonancia del álgebra en dicho desarrollo. La llamada Álgebra homologia puede considerarse su centro de irradiación. En ésta, lo más importante es precisamente la noción de módulo sobre un anillo, o más técnicamente, “la categoría de módulos sobre un anillo”. En la actualidad, analistas y topólogos trabajan con módulos sobre anillos de funciones (continuas, diferenciables, analíticas, etc.), los geómetras con módulos sobre los más variados anillos conmutativos. La teoría alge- braica de números clásica se encara hoy estudiando los módulos sobre distintos anillos aritméticos, en combinación conK-teoría, cohomología galoisiana, “projective class group”, etc.
Pensamos que el adoptar el punto de vista de la teoría de módulos en esta monografía nos permite efectuar un avance más pronunciado y de mayores perspectivas futuras. Por ejemplo, conociendo la teoría de módulos se puede enriquecer y dar un significado especial al estudio de grupos finitos, “vía” la teoría de representación y igualmente, los métodos del álgebra homológica resultan de gran utilidad para estudiar grupos abelianos infinitos.

Formato:  pdf Comprimido:  rar Peso:  18.2 MB Lenguaje:  Español

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